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★とものブログ(サブ)★〜大学受験勉強法を中心に〜

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      数学毅 センター2011年 第2問前半 解答・解説 22:12

      数学毅 センター2011年 第2問前半 問題

      a,b,cを定数とし、a≠0,b≠0とする。
      xの2次関数
      y=ax二乗+bx+c …
      のグラフをGとする。
      Gがy=-3x二乗+12bxのグラフと同じ軸をもつとき
      a=【アイ】/【ウ】 …
      となる。さらに、Gが点(1,2b-1)を通るとき
      c=b-【エ】/【オ】 …
      が成り立つ。
      以下、◆↓のとき、2次関数,箸修離哀薀Gを考える。

      (1)Gとx軸が異なる2点で交わるようなbの範囲は
      b<【カキ】/【ク】,【ケ】/【コ】<b
      である。





      ●解答

      黒字が答案(例)
      黒字だけで理解できるとBetter
      青字は補足説明
      赤字は答え

      y=-3x二乗+12bxのグラフと同じ軸をもつから、とりあえずこのグラフの軸を求めてみる。
      y
      =-3x二乗+12bx
      ↓(x二乗の係数で、くくる)
      =-3(x二乗-4bx)
      ↓(カッコ内を平方完成)
      -4bの半分の-2b、(-2b)の二乗の4b二乗を引く
      =-3{(x-2b)二乗-4b二乗}
      ↓(-3を分配)
      =-3(x-2b)二乗+12b二乗
      →軸はx=2b ☆1

      やっぱり、y=ax二乗+bx+c …,睚進完成。
      y
      =ax二乗+bx+c 

      ↓(x二乗の係数で、くくる)
      =a(x二乗+bx/a)+c
      ↓(カッコ内を平方完成)
      b/a
      の半分のb/2a、(b/2a)の二乗のb二乗/4a二乗を引く
      =a{(x+b/2a)二乗-b二乗/4a二乗}+c
      ↓(aを分配)
      =a(x+b/2a)二乗-b二乗/4a+c ☆4
      →軸は-b/2a ☆2

      ☆1☆2より、
      題意より(Gがy=-3x二乗+12bxのグラフと同じ軸をもつとき)
      2b=-b/2a
      a=-1/4

      …【ア】〜【ウ】

       y=ax二乗+bx+c)に上で求めたa=-1/4を代入する。
      y
      =-(1/4)x二乗+bx+c 
      ☆3
      このグラフ、Gが点(1,2b-1)を通るから、☆3にx=1,y=2b-1を代入する。
        2b-1=-1/4+b+c
      c=b-3/4

      …【エ】、【オ】

      a<0なんで、Gは上に凸のグラフ。
      上に凸のグラフが、x軸と2点で交わる条件は、頂点がx軸より上にあること。
      Gの頂点は、☆4をみれば、
      (-b/2a,-b二乗/4a+c)
      =(2b,b二乗+c)
      =(2b,b二乗+b-3/4)
       題意(Gとx軸が異なる2点で交わる)
      ⇔b二乗+b-3/4>0
      ⇔4b二乗+4b-3>0
      ⇔(2b-1)(2b+3)>0
      ⇔b<-3/2,1/2<b

      …【カ】〜【コ】



      書き中…


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