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★とものブログ(サブ)★〜大学受験勉強法を中心に〜

現役大学生(旧帝大です☆)のともが送る、楽しいブログ♪
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      数学毅 センター2011年 第2問前半 解答・解説 22:12

      数学毅 センター2011年 第2問前半 問題

      a,b,cを定数とし、a≠0,b≠0とする。
      xの2次関数
      y=ax二乗+bx+c …
      のグラフをGとする。
      Gがy=-3x二乗+12bxのグラフと同じ軸をもつとき
      a=【アイ】/【ウ】 …
      となる。さらに、Gが点(1,2b-1)を通るとき
      c=b-【エ】/【オ】 …
      が成り立つ。
      以下、◆↓のとき、2次関数,箸修離哀薀Gを考える。

      (1)Gとx軸が異なる2点で交わるようなbの範囲は
      b<【カキ】/【ク】,【ケ】/【コ】<b
      である。





      ●解答

      黒字が答案(例)
      黒字だけで理解できるとBetter
      青字は補足説明
      赤字は答え

      y=-3x二乗+12bxのグラフと同じ軸をもつから、とりあえずこのグラフの軸を求めてみる。
      y
      =-3x二乗+12bx
      ↓(x二乗の係数で、くくる)
      =-3(x二乗-4bx)
      ↓(カッコ内を平方完成)
      -4bの半分の-2b、(-2b)の二乗の4b二乗を引く
      =-3{(x-2b)二乗-4b二乗}
      ↓(-3を分配)
      =-3(x-2b)二乗+12b二乗
      →軸はx=2b ☆1

      やっぱり、y=ax二乗+bx+c …,睚進完成。
      y
      =ax二乗+bx+c 

      ↓(x二乗の係数で、くくる)
      =a(x二乗+bx/a)+c
      ↓(カッコ内を平方完成)
      b/a
      の半分のb/2a、(b/2a)の二乗のb二乗/4a二乗を引く
      =a{(x+b/2a)二乗-b二乗/4a二乗}+c
      ↓(aを分配)
      =a(x+b/2a)二乗-b二乗/4a+c ☆4
      →軸は-b/2a ☆2

      ☆1☆2より、
      題意より(Gがy=-3x二乗+12bxのグラフと同じ軸をもつとき)
      2b=-b/2a
      a=-1/4

      …【ア】〜【ウ】

       y=ax二乗+bx+c)に上で求めたa=-1/4を代入する。
      y
      =-(1/4)x二乗+bx+c 
      ☆3
      このグラフ、Gが点(1,2b-1)を通るから、☆3にx=1,y=2b-1を代入する。
        2b-1=-1/4+b+c
      c=b-3/4

      …【エ】、【オ】

      a<0なんで、Gは上に凸のグラフ。
      上に凸のグラフが、x軸と2点で交わる条件は、頂点がx軸より上にあること。
      Gの頂点は、☆4をみれば、
      (-b/2a,-b二乗/4a+c)
      =(2b,b二乗+c)
      =(2b,b二乗+b-3/4)
       題意(Gとx軸が異なる2点で交わる)
      ⇔b二乗+b-3/4>0
      ⇔4b二乗+4b-3>0
      ⇔(2b-1)(2b+3)>0
      ⇔b<-3/2,1/2<b

      …【カ】〜【コ】



      書き中…


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        数学毅 センター2011年 第2問前半 問題 22:02

        数学毅 センター2011年 第2問前半 問題

        a,b,cを定数とし、a≠0,b≠0とする。
        xの2次関数
        y=ax二乗+bx+c …
        のグラフをGとする。
        Gがy=-3x二乗+12bxのグラフと同じ軸をもつとき
        a=【アイ】/【ウ】 …
        となる。さらに、Gが点(1,2b-1)を通るとき
        c=b-【エ】/【オ】 …
        が成り立つ。
        以下、◆↓のとき、2次関数,箸修離哀薀Gを考える。

        (1)Gとx軸が異なる2点で交わるようなbの範囲は
        b<【カキ】/【ク】,【ケ】/【コ】<b
        である。


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          数学毅 センター2011年 第1問〔1〕前半 解答・解説 19:33

          数学毅 センター2011年 第1問〔1〕前半 問題

          a=3+2√2,b=2+√3とすると
          1/a=【ア】-【イ】√【ウ】
          1/b=【エ】-√【オ】
          a/b-b/a=【カ】√【キ】-【ク】√【ケ】
          である。



          ●制限時間
          ○5分
          ○数学8割以上目指す人は、90秒。
          はかってやってみて、できなかったら90秒以内に解けるように何回も練習しよう。



          ●解答・解説

          黒字が答案(例)
          黒字だけで理解できるとBetter
          青字は補足説明
          赤字は答え

          1/a
          =1/(3+2√2)
          ={1/(3+2√2)}×{(3-2√2)/(3-2√2)}
          (↑できればこの行を省略したい)
          9(3の二乗)-8(2√2の二乗)=1(分母が1)なんで、分子だけ残って、
          =3-2√2

          …【ア】〜【ウ】

          (【ア】〜【ウ】と同様に、★分母の有理化をします。できるだけ暗算で。)
          1/b
          =1/(2+√3)
          【ア】〜【ウ】と同様に、4-3=1で分母が1なんで、分子だけ残って、
          =2-√3

          …【エ】、【オ】

          a/b-b/a
          =a×(1/b)-b×(1/a)
          =(3+2√2)×(2-√3)-(2+√3)×(3-2√2)
          (展開した式書いて、まとめる、っていうより、★同類項に注目して計算↓していって、)
          すうじ・・・6-6=0
          √2・・・4+4=8
          √3・・・-3-3=-6
          √6・・・-2+2=0
          って書いて、
          (↑慣れればこっちのほうが、確実でスピーディ)
          =(6-6)+(4+4)√2+(-3-3)√3+(-2+2)√6
          (↑もちろん書かなくていい)
          (係数の部分を空いたスペースで書けば、いきなり答え↓を書ける)
          =8√2-6√3

          …【カ】〜【ケ】



          ●コメント・ポイント

          ★分母の有理化は暗算できないか、まずは検討する
          分母の有理化はよく出題される。
          分母が1になるように作られている場合もあり、暗算できるくらい慣れていたほうがBetter。

          ★「展開→同類項をまとめる」は、展開した式をなるべく書かない
          「展開→同類項をまとめる」は上のように、係数だけメモって、1行で(なるべく)できるように慣れよう。

          ○問題の続き
          問題はまだ続いていて、後半では、「不等式の問題(絶対値を含む)」が続いている。





          質問、意見、要望、感想、ミス発見など、遠慮なく言ってください。

          反応、コメントが多ければ多いほど、これからも書く可能性、頻度が高くなると思います。

          よろしくお願いします。


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            数学毅 センター2011年 第1問〔1〕前半 問題 19:23

            数学毅 センター2011年 第1問〔1〕前半 問題

            ●制限時間
            ○5分
            ○数学8割以上目指す人は、90秒。
            はかってやってみて、できなかったら90秒以内に解けるように何回も練習しよう。

            a=3+2√2,b=2+√3とすると
            1/a=【ア】-【イ】√【ウ】
            1/b=【エ】-√【オ】
            a/b-b/a=【カ】√【キ】-【ク】√【ケ】
            である。



            ●解答・解説・コメント・ポイント・技


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